ARK · 金融機器學習CHAPTER 17 / 19

CHAPTER 17 / 19 · PART 4 · 量化金融實務

利率、信用與外匯市場

Rates, Credit & FX Markets

四個市場一套骨架——曲線、衍生品、風險因子：從殖利率曲線、信用利差到拋補利率平價。

§01學習重點

§02課程內容

一、一套骨架看四個市場

課程走到這裡，工具箱已經齊了：第 14 章的風險中性定價、第 15 章的選擇權定價實務、第 16 章的 Greeks 與波動率曲面。但前三章的例子多半住在「某一個標的資產」上。真實的量化金融從業者不是這樣分工的——他們按市場分工：利率檯、信用檯、外匯檯、股票與商品檯。每個市場有自己的術語、報價慣例與交易文化，隔行如隔山。

本章的野心是把這座山剷平。方法是抓住一條貫穿所有市場的共同骨架：每個市場都是「一條曲線、一族衍生品、一組風險因子」。利率市場的曲線是殖利率曲線，衍生品是交換與交換選擇權，風險因子是水平、斜率、曲率；信用市場的曲線是危險率期限結構，衍生品是 CDS，風險因子是利差與違約；外匯市場的曲線是遠期點期限結構，衍生品是以 delta 報價的選擇權，風險因子是匯率與兩地利差；股商市場的曲線是期貨曲線，風險因子是現貨、股利與便利收益率。學會在一個市場裡辨認這三件東西，到另一個市場就只是換名詞。

深度先說清楚：這是一章市場結構總覽，不是四本教科書。目標是讓你懂結構、知術語，日後把機器學習接上任何一個市場時，知道特徵從哪裡來、標籤是什麼、風險藏在哪。每個市場只取核心機制，篇幅按利率、信用、外匯、股商遞減——因為前面的機制會被後面反覆重用。

二、殖利率曲線：把「錢的時間價格」畫成一條線

利率市場的一切從一個問題開始：一年後的 100 元，今天值多少？答案是折現因子 \(d(T)\)——今天付出 \(d(T)\) 元，換到 \(T\) 年後確定收到的 1 元。整條 \(d(T)\) 隨 \(T\) 變化的函數，換個座標畫出來就是殖利率曲線：

$$ d(T) = \frac{1}{(1+z_T)^T} $$

逐項拆解：\(z_T\) 是 \(T\) 年期的零息利率——把錢鎖 \(T\) 年、中途沒有任何現金流的年化報酬；\((1+z_T)^T\) 是複利滾 \(T\) 年的倍數；倒數就是把未來 1 元折回今天的價格。曲線上每個期限一個 \(z_T\)，短天期通常貼著央行政策利率，長天期反映市場對未來利率與風險的定價。

麻煩在於：市場上直接交易的多半不是零息債，而是票息債——每年發利息、到期還本金，一張債券是一串現金流的組合。你會看到報價系統顯示每檔債券的「到期殖利率」（YTM）：讓現值等於市價的那個單一折現率。YTM 好懂，卻有個結構性缺陷——它對同一時點的現金流用了不同的折現率。兩檔都在第 3 年付息的債券，若 YTM 不同，同一天的 1 元被折成不同價格，這在邏輯上說不通，也讓不同債券之間無法比價。出路是反過來：從一組票息債價格裡，解出一條對每個時點只有一個折現因子的零息曲線。這個程序叫 bootstrapping。

比喻： 像用天平校準一組砝碼。你手上只有「一包包混裝的砝碼」（票息債＝多筆現金流的混裝包），沒有單顆的標準砝碼（零息債）。怎麼辦？先拿只含一顆砝碼的最小包（一年期債，只剩一筆到期現金流）上天平，稱出第一顆的重量；接著拿兩顆裝的包，扣掉已知的第一顆，秤出第二顆；三顆裝的扣掉前兩顆，秤出第三顆。每一步都靠前面已校準的砝碼，才能秤出下一顆——這就是 bootstrapping：由短到長、一次解一個折現因子。

親手做一次。四檔年付息公債（面額 100），由短到長依序求解：

PYTHON
import numpy as np

bonds = [        # (到期年, 年息票率, 市價)
    (1, 0.020, 99.52),
    (2, 0.025, 99.05),
    (3, 0.030, 99.30),
    (4, 0.032, 98.90),
]

d = {}                                # 折現因子 d[T]
for T, c, price in bonds:
    coupon = 100 * c
    known = sum(coupon * d[t] for t in range(1, T))   # 用已解出的短期折現因子
    d[T] = (price - known) / (100 + coupon)           # 解最後一筆現金流
    z = d[T] ** (-1 / T) - 1                          # 換算年複利零息利率
    print(f"T={T}y  已知現值={known:7.4f}  d={d[T]:.6f}  zero={z*100:.4f}%")
# 輸出：
# T=1y  已知現值= 0.0000  d=0.975686  zero=2.4920%
# T=2y  已知現值= 2.4392  d=0.942544  zero=3.0028%
# T=3y  已知現值= 5.7547  d=0.908207  zero=3.2615%
# T=4y  已知現值= 9.0446  d=0.870692  zero=3.5223%

# 驗證：用解出的曲線重新定價，每檔都精確收回市價（誤差 < 1e-13）
for T, c, price in bonds:
    pv = sum(100 * c * d[t] for t in range(1, T + 1)) + 100 * d[T]
    assert abs(pv - price) < 1e-10

四步解完，曲線向上傾斜：一年期 2.49%、四年期 3.52%。注意第 4 檔債的 YTM 是 3.4995%，與四年期零息利率 3.5223% 並不相等——YTM 是整串現金流的「加權平均折現率」，被前面較低的短期利率拉低了。這正是為什麼定價要用曲線、不能用 YTM。

曲線一旦在手，還附贈一件強大的東西：遠期利率。既然 \(d(1)\) 是「今天到一年後」的價格、\(d(2)\) 是「今天到兩年後」的價格，那「一年後起算、為期一年」的利率已經被隱含決定：

$$ 1 + f(1,2) = \frac{d(1)}{d(2)} $$

逐項拆解：\(f(1,2)\) 是第 1 到第 2 年的隱含遠期利率；等式說的是「先鎖一年、再按遠期利率續鎖一年」必須等於「直接鎖兩年」，否則兩條路徑之間就有套利。用上面的數字算：\(f(1,2)=3.52\%\)、\(f(2,3)=3.78\%\)、\(f(3,4)=4.31\%\)——曲線向上傾斜時，遠期利率比零息利率爬得更陡。遠期利率是市場「用價格寫下的對未來的看法」（混著風險溢酬），也是利率衍生品定價的原料。

實務註記：真實世界的曲線不是從四檔債券解出來的，而是從存款利率、利率期貨、交換利率等一整組工具聯合校準，且自 2008 年後業界改用「多曲線框架」——折現用有擔保的隔夜利率曲線（如美元的 SOFR），預測浮動指標另建一條曲線。機制與本節相同，只是工程更繁複。

三、久期與凸性：曲線動一下，你的債券痛多少

有了曲線，下一個問題是風險：利率動了，債券價格動多少？第一階答案叫久期（duration），第二階修正叫凸性（convexity）：

$$ \frac{\Delta P}{P} \;\approx\; -D\,\Delta y \;+\; \tfrac{1}{2}\,C\,(\Delta y)^2 $$

逐項拆解：\(\Delta y\) 是殖利率的變動（例如升息一碼＝0.25 個百分點）；\(D\) 是修正久期——殖利率每升 1 個百分點，價格約跌 \(D\%\)，負號捕捉「利率升、債價跌」的反向關係；\(C\) 是凸性——價格對殖利率的曲線彎度，因為折現是指數函數、不是直線，跌的時候跌得比直線少、漲的時候漲得比直線多，凸性項把這個「對持有人有利的彎」補回來。

比喻： 久期是債券現金流在時間軸上的重心。把每筆現金流的現值當成砝碼、擺在時間軸這根蹺蹺板上，重心落在哪一年，久期大約就是幾年。零息債的砝碼全在最遠端，重心＝到期日，利率一動它晃得最兇；高票息債沿路都有砝碼，重心被拉近，晃動較小。這也解釋了為什麼久期同時是「敏感度」與「加權平均回收時間」——蹺蹺板離支點越遠的重量，對翹動的貢獻越大。

久期是一階線性近似，天生只在「小幅度」內可靠。多小算小？用全重評價實測（10 年期、3% 票息、殖利率 3% 起跳）：

PYTHON
import numpy as np

def bond_price(y, T, c):
    return sum(100 * c / (1 + y) ** t for t in range(1, T + 1)) + 100 / (1 + y) ** T

T, c, y0 = 10, 0.03, 0.03
times = np.arange(1, T + 1)
cfs = np.full(T, 100 * c); cfs[-1] += 100.0
disc = (1 + y0) ** (-times.astype(float))
P0 = (cfs * disc).sum()
D = (times * cfs * disc).sum() / P0 / (1 + y0)                    # 修正久期 8.53
C = (times * (times + 1) * cfs * disc).sum() / P0 / (1 + y0)**2   # 凸性 87.07

for dy_bp in (10, 100, 200):
    dy = dy_bp / 10000
    dP_true = bond_price(y0 + dy, T, c) - P0
    dP_dur  = -D * P0 * dy
    dP_dc   = dP_dur + 0.5 * C * P0 * dy ** 2
    print(f"升 {dy_bp:>3}bp｜實際 {dP_true:8.4f}｜久期 {dP_dur:8.4f}｜久期+凸性 {dP_dc:8.4f}")
# 輸出：
# 升  10bp｜實際  -0.8487｜久期  -0.8530｜久期+凸性  -0.8487
# 升 100bp｜實際  -8.1109｜久期  -8.5302｜久期+凸性  -8.0949
# 升 200bp｜實際 -15.4435｜久期 -17.0604｜久期+凸性 -15.3191

升 10 個基點時久期近似幾乎完美；升 200 個基點（八碼）時，久期高估跌幅 1.62 元——因為直線切線一路往下探，忽略了價格曲線往上彎；加上凸性修正後誤差縮到 0.12 元。作業二會讓你把到期拉到 30 年、幅度拉到 300 個基點，看近似怎麼一路崩壞。台灣的對照很直觀：2022 年 3 月到 2023 年 3 月台灣央行連續升息 3 碼（0.75 個百分點），同期美國聯準會升了 19 碼——持有長天期美債部位的台灣壽險業，帳上未實現損失以兆元計，那就是「久期 × 升息幅度」在真實資產負債表上的樣子。

最後把整條曲線的風險收攏：曲線有十幾個期限，難道要對每個期限各算一個敏感度？第 6 章的答案在這裡接上——對曲線變動做 PCA，幾乎總是得到水平、斜率、曲率三個因子，前三個主成分吃掉九成九的變異。利率風險管理因此從「十幾維」壓縮成「三維」：對沖掉水平與斜率，就對沖掉了絕大部分曲線風險。這也是機器學習接上利率市場的第一個入口：曲線因子是天然的特徵。

四、利率交換：把浮動換成固定

利率衍生品成交量最大的品種不是選擇權，是利率交換（interest rate swap）。機制樸素：甲方付固定利率、乙方付浮動利率（掛鉤某個短期指標利率，如今日的 SOFR），雙方按同一個名目本金、每期互換利息，本金不換手。誰需要它？背著浮動利率負債的企業想鎖住成本、持有固定收益資產的壽險想調整久期、交易員想表達「利率會往哪走」的看法——swap 是利率市場的瑞士刀。

定價的核心概念一個就夠：交換利率（swap rate）是讓合約在成交當下價值為零的那個固定利率。浮動腿的現值可以用曲線上的遠期利率逐期折現，固定腿是一串已知現金流；交換利率就是讓兩腿現值打平的固定率。這帶來一個漂亮的閉環：swap 報價本身又是 bootstrapping 曲線的輸入——市場用曲線給 swap 定價，又用 swap 的成交價回頭校準曲線，兩者互為鏡像。

再往上一層是利率市場的選擇權家族：利率上限（cap）是「對未來每一期浮動利率的買權串」，付浮動利率的借款人拿它當保險；交換選擇權（swaption）是「未來某天進場做 swap 的權利」，是利率波動率交易的主戰場。它們的報價匯成利率波動率曲面——第 16 章那套波動率曲面語言，在利率市場原樣重演，只是座標軸從「行使價×到期」換成「行使價×選擇權到期×標的年期」的三維立方。深入定價需要短率模型與市場模型，本章不展開（原書對照節有地圖）。

五、信用市場：利差在補償什麼

把場景換到公司債。同樣是 5 年期債券，公司債的殖利率比公債高出一截，這一截叫信用利差。天真的解讀是「利差＝違約風險的保費」，但拆開看會發現事情有趣得多。

先建模「違約什麼時候發生」。信用市場的主流語言是危險率（hazard rate）\(\lambda\)：在還沒違約的前提下，下一小段時間違約的機率密度。危險率固定時，存活機率呈指數衰減：

$$ Q(\tau > T) = e^{-\lambda T} $$

逐項拆解：\(\tau\) 是違約時點，\(Q(\tau>T)\) 是撐過 \(T\) 年的機率；\(\lambda\) 越大衰減越快。這跟「燈泡壽命」的建模一模一樣——不問「為什麼壞」，只用一個強度參數描述「多常壞」。違約發生時，債權人不是血本無歸：每 1 元面額平均收回 \(R\)（回收率，投資級公司債歷史經驗約四成），損失部分是 \(1-R\)（違約損失率，LGD）。

於是有了信用市場最好用的一條速算式——credit triangle：

$$ s \;\approx\; \lambda \,(1 - R) $$

逐項拆解：\(s\) 是信用利差（年化）；右邊是「每年違約的機率 × 違約時的損失比例」＝年化期望損失。利差、危險率、回收率三個角，知道兩個就能解第三個。例：市場上某公司 5 年期 CDS 利差 150 個基點、假設回收率 40%，隱含危險率 \(\lambda = 0.015/0.6 = 2.5\%\)，五年累積違約機率 \(1-e^{-0.125}=11.75\%\)。

現在是本節的重點：把市場隱含的違約機率跟歷史實證的違約率擺在一起，兩者長期兜不攏。同一評級的公司，市場利差隱含的違約機率，普遍比評等機構統計的歷史違約率高出一大截。用上面的例子：若這家公司的實證年違約率其實只有 1.2%，違約補償只值 \(0.012 \times 0.6 = 72\) 個基點——觀察到的 150 個基點裡，有 78 個基點在補償別的東西：公司債的流動性遠差於公債（想賣的時候買賣價差大、甚至找不到對手）、違約損失集中在景氣最壞的時刻（壞時刻的錢更貴，要求更高溢酬）、以及評級遷移的風險。這就是文獻裡的「信用利差之謎」：利差不是違約機率的乾淨讀數，它是違約、流動性、風險厭惡的混合訊號。對機器學習從業者這是一句重要的警語——拿利差當「違約機率標籤」訓練模型，等於把三種訊號混進一個標籤裡。

建模違約還有另一條路。上面的危險率方法叫縮減式模型（reduced-form）：不問違約的原因，把違約當外生的隨機事件，用市場價格校準強度——定價與對沖的主流。另一派叫結構式模型（structural）：把違約講成有經濟結構的故事——公司資產價值是隨機過程，跌破負債門檻就違約，股權因此是「以資產為標的、負債為行使價的買權」（Merton 的洞見）。結構式模型把股價、財報跟違約機率接起來，是基本面信用分析與「用股市訊號預警債市」的理論骨架；縮減式模型放棄解釋、換取校準的精確。兩派分工明確：講故事用結構式，定價用縮減式。第 1 章的房貸建模縮影其實是第三條路——用逐筆貸款特徵訓練狀態轉移模型，那是機器學習直接下場建模信用的樣子；而第 5 章講的可解釋性工具，正是這類授信模型能被監管接受的前提。

六、CDS：可以單獨交易的違約保險

信用利差要成為可交易、可對沖的東西，需要一個乾淨的載體——信用違約交換（CDS）。機制用一句話講完：買方每季付保費（報價就是年化利差，例如 150 個基點），換取「參考實體若違約，賣方賠付 \(1-R\)」的保障。付保費的現金流叫保費腿，賠付叫保護腿；讓兩腿現值相等的保費率，就是 CDS 的公平利差。

比喻： 台灣民間借貸的「保人」制度把 CDS 的兩條腿演得很清楚。朋友向銀行借錢，你當保人——他跑路你代償，這是保護腿；差別在傳統保人是無償的人情，CDS 把它變成明碼標價的生意：想找人作保，每季付酬勞，市場上自然形成「幫這個人作保該收多少」的行情價。行情價本身就是資訊——當市場對某公司的「作保費」從 150 個基點跳到 400 個基點，等於全市場的保人們在說：這位的跑路風險變高了。而且你不必真的借錢給他，也可以單純去「賣作保」或「買作保」——這就是 CDS 讓信用風險脫離債券、單獨交易的意義。

公平利差可以嚴格算：保護腿現值 \(=\mathbb{E}[e^{-r\tau}(1-R)\,\mathbf{1}_{\tau\le T}]\)，保費腿現值 \(=s\times\) 風險年金（每期折現×屆時存活機率的加總）。用蒙地卡羅驗證 credit triangle 這條速算式有多準：

PYTHON
import numpy as np

rng = np.random.default_rng(17)
lam, R, r, T = 0.02, 0.40, 0.03, 5.0      # 危險率2%、回收率40%、無風險3%、5年
tau = rng.exponential(1 / lam, 2_000_000)  # 模擬違約時點

# 保護腿：T 內違約 → 收 1-R，按違約時點折現
prot = np.where(tau <= T, (1 - R) * np.exp(-r * tau), 0.0).mean()

# 保費腿（風險年金）：季付，只在「還活著」的期數付
dt = 0.25
grid = np.arange(dt, T + 1e-9, dt)
alive = (tau[None, :] > grid[:, None]).mean(axis=1)   # 各期存活機率
annuity = (alive * np.exp(-r * grid) * dt).sum()

print(f"損益兩平利差 = {prot / annuity * 10000:.1f} bp")
print(f"credit triangle λ(1−R) = {lam * (1 - R) * 10000:.1f} bp")
# 輸出：
# 損益兩平利差 = 121.4 bp
# credit triangle λ(1−R) = 120.0 bp

完整定價 121.4 個基點、三角速算 120 個基點——差 1 個基點出頭，來源是速算忽略了折現與保費在違約當期的應計細節。日常心算用三角，正式定價用兩腿。

CDS 對不同到期（1、3、5、7、10 年）各有報價，這組報價又能玩一次第二節的把戲：由短到長 bootstrap 出存活曲線——分段常數的危險率期限結構。同一套「由短到長逐段求解」的邏輯，在利率市場解折現因子、在信用市場解存活機率，骨架完全同構，這正是第一節那句「換市場只是換名詞」的第一個兌現。台灣的對照：台灣沒有活躍的公司 CDS 市場，但「中華民國主權 CDS」在離岸市場有報價，長年是亞洲最低的一檔之一，約在兩位數基點的量級——它被市場當成兩岸地緣風險的溫度計，跳動的時點比幅度更有資訊量。（⚠️ 具體報價隨時間變動，引用當下數字前需查證。）

七、外匯市場：兩種錢的相對價格

外匯是全球成交量最大的市場，日成交以兆美元計。它的特殊性在於標的不是「一個資產」，而是兩種貨幣的相對價格——你做多一邊，必然做空另一邊；持有部位期間，兩邊各自生息。這個「雙邊都有利率」的結構，決定了外匯市場最核心的一條定價關係。

問題：即期美元兌台幣 32.00，一年期遠期匯率該是多少？直覺會想「看市場預期美元漲還是跌」——錯。遠期匯率不是預測出來的，是套利套出來的。手上 100 萬台幣、一年後要用台幣，有兩條路：

PYTHON
S, r_twd, r_usd = 32.00, 0.016, 0.053   # 即期、台幣利率、美元利率

F = S * (1 + r_twd) / (1 + r_usd)        # CIP 遠期匯率
print(f"CIP 遠期 = {F:.4f}（遠期點 {F - S:+.4f}）")

capital = 1_000_000
pathA = capital * (1 + r_twd)                    # 路徑A：台幣定存
usd_end = capital / S * (1 + r_usd)              # 路徑B：換美元、存美元
pathB = usd_end * F                              #        期初就用遠期鎖定換回匯率
print(f"路徑A {pathA:,.0f} vs 路徑B {pathB:,.0f}，差 {pathB - pathA:.6f}")
# 輸出：
# CIP 遠期 = 30.8756（遠期點 -1.1244）
# 路徑A 1,016,000 vs 路徑B 1,016,000，差 0.000000

路徑 A：台幣定存 1.6%，期末 101.6 萬。路徑 B：先換成 31,250 美元、存美元 5.3%、期初就簽好遠期合約鎖定一年後換回的匯率。兩條路都沒有承擔任何匯率風險，終點必須一模一樣——否則所有人湧向高的那條，價差瞬間被吃掉。由此解出遠期匯率：

$$ F = S \cdot \frac{1 + r_{\text{本幣}}}{1 + r_{\text{外幣}}} $$

這就是拋補利率平價（Covered Interest Parity, CIP）。逐項拆解：\(S\) 是即期匯率（1 單位外幣值多少本幣）；分子分母是兩邊各自的利息倍數；「拋補」指匯率風險已被遠期合約蓋住。注意結論的反直覺處：美元利率比台幣高 3.7 個百分點，遠期匯率反而是美元貶值（30.88 < 32.00）——高息貨幣在遠期市場必然折價，否則「借低息、存高息、遠期鎖匯」就是無風險印鈔機。遠期點位純粹是利差的鏡像，與「市場看漲看跌」無關。

比喻： CIP 是連通管原理。兩個水槽（台幣資金池、美元資金池）底部有管子相通（換匯＋遠期市場），水位（無風險報酬）必然拉平——哪邊高，水就流過去，直到平了為止。教科書時代大家以為管子永遠暢通；2008 年金融危機後，管子開始淤塞：監管新規讓銀行的資產負債表變貴，跨貨幣套利要占用資本額度，搬水的人變少了。於是水位差可以持續存在——這就是「交叉貨幣基差」（cross-currency basis）：實測遠期匯率對 CIP 理論值的系統性偏離，美元荒的季末、年底特別明顯。水位差沒消失不是因為沒人看見，而是因為搬水本身有了成本。

CIP 偏離對量化從業者是雙重身分：對套利者是訊號（偏離超過交易成本門檻才動手，作業三會做一個偵測器），對其他所有人是成本——台灣壽險業把大量資產配置在美債、再用換匯交易避險，基差走闊時避險成本可以吃掉大半利差，這是台灣金融業每季財報都要面對的變數。另一個台灣在地細節：台幣是有資本管制的貨幣，離岸市場因此發展出 NDF（無本金交割遠期）——到期不真的交割兩種貨幣，只按「約定匯率 vs 屆時即期」的差額用美元結算。NDF 不受在岸管制束縛，它與在岸遠期的價差，本身就是資本管制鬆緊與投機壓力的溫度計。

最後講外匯選擇權市場一個獨有的慣例，第 16 章的波動率曲面在這裡換了座標系。股票選擇權的報價軸是行使價；外匯選擇權市場不報行使價，報 delta——報價單上的三大件是：ATM 波動率（平價）、25-delta risk reversal（同 delta 的買權與賣權隱含波動率之差，量曲面的偏斜）、25-delta butterfly（兩翼平均相對 ATM 高出多少，量曲面的翅膀）。要還原出「某個行使價對應的波動率」，得先用 Black–Scholes 的 delta 公式反解行使價——但 delta 本身又依賴波動率，所以還原曲面是一個小小的迭代校準問題。為什麼這樣設計？因為即期匯率整天在動，用 delta 標定的點「跟著即期走」，同一張報價單能活得更久。對做資料的人這是一課：外匯波動率資料的原始格式是 (delta, 期限) 網格，不是 (行使價, 期限) 網格——直接把它當行使價餵進模型，是新手常見的資料工程錯誤。

八、股票與商品：同一套骨架的最後兩塊

四塊拼圖剩最後兩塊，而你其實已經會了——考驗骨架的時候到了。

股票的期貨曲線是 CIP 的孿生兄弟。持有股指期貨 vs 借錢買現股抱到期：兩條路徑終點相同，所以 \(F = S(1+r) - \text{預期股利}\)——利率是持有成本、股利是持有收益，期貨價高於或低於現貨，完全由「利率 vs 股利率」的相對大小決定。台指期每月結算前的「正價差、逆價差」，多數時候就是這條算式在說話（除息旺季逆價差放大），只有極端行情下才摻入情緒的成分。

商品把這條式子推到極限。黃金可以低成本儲存，期貨曲線乖乖服從持有成本邏輯；原油、天然氣儲存又貴又危險，現貨與期貨之間的套利鏈條斷裂，曲線開始「有自己的想法」：實體用家願意為「手上有貨」付出的隱含溢價叫便利收益率（convenience yield）——庫存吃緊時飆高，把曲線壓成近高遠低（backwardation）；儲存過剩時歸零，曲線回到近低遠高（contango）。最極端的是 VIX：它的「現貨」（即時指數）根本不可交易，期貨曲線完全由供需與風險溢酬決定，長期處於 contango——持有 VIX 期貨避險的人，每個月把部位往前滾動都在「高買低賣」，這個系統性的滾動損耗（roll yield）正是波動率賣方策略長年有利可圖、也偶爾一夜歸零的結構原因。

收束全章，把骨架攤開成一張對照表：

| | 曲線 | 核心衍生品 | 主風險因子 | |---|---|---|---| | 利率 | 殖利率曲線 | swap、cap、swaption | 水平／斜率／曲率 | | 信用 | 危險率期限結構 | CDS、指數 CDS | 利差、違約、回收率 | | 外匯 | 遠期點曲線 | 遠期、delta 報價選擇權 | 匯率、兩地利差、基差 | | 股商 | 期貨曲線 | 期貨、指數選擇權 | 現貨、股利／便利收益率 |

每一列都是「一條曲線描述時間維度的價格、一族衍生品讓風險可交易、一組因子把風險降維」。對機器學習從業者，這張表是特徵工程的地圖：曲線因子（水平、斜率、曲率）、利差拆解（違約 vs 流動性）、基差（CIP 偏離、NDF 價差）、期貨曲線形狀（contango 深度、滾動收益）——全是跨市場可比、經濟意義清楚的特徵原料。下一章把這些原料裝進投資組合建構與風險管理的框架；到那裡你會看到，本章的「因子」正是組合風險模型的積木。

§03原書對照

本章以四合一的方式重組了原書第 13 至 16 章（Section III「不同市場的量化建模」）的骨架，以下內容原書有、但本課未展開，供進階讀者按頁碼深入。利率章：各市場開場都有一節「市場設定」，交代參與者結構與交易動機（p.317）；日算慣例、FRA 與歐洲美元期貨作為曲線建構工具的細節（pp.320–324）；bootstrapping 與最佳化兩種建曲線方法的優劣比較——前者精確收回市價但曲線前端有鋸齒、後者平滑但帶擬合誤差（pp.328–331）；Libor 向 OIS 折現轉換的多曲線框架註記（p.328）；曲線的實證觀察與聯準會政策如何塑形曲線的討論（p.332）；cap/floor 以 Black 模型逐期定價與波動率剝離（pp.336–339）；swaption 以 Bachelier 模型定價、以 SABR 擬合偏斜、以及三維波動率立方的組織方式（pp.339–341）；短率模型家族的系統性推進——Ho-Lee、Vasicek、CIR、Hull-White 到雙因子高斯模型，各模型的均值回歸與分布性質逐一對照（pp.341–348）；Libor 市場模型與其下的 swaption 定價（pp.349–351）；百慕達交換選擇權等奇異品（pp.352–353）；投資視角的交易結構——carry 收割、交換對公債的基差交易、條件變陡交易、蝶式（pp.354–360）；歐洲與日本引入負利率後模型如何調整的案例研究（pp.361–362）。信用章：風險債券與無風險債券的久期行為對比（p.369）；CDS 兩腿的逐項估值、風險年金與利率年金之別、部位的市值評價（pp.370–374）；CDS 與現券之間的基差及其驅動因素（pp.375–376）；指數 CDS 的估值、指數對單名的基差，以及從投資級與高收益指數報價實作提取危險率（pp.378–381）；市場隱含與實證違約機率的直接對照（p.382）；CDS 選擇權與指數選擇權（pp.383–385）；CDO 的分券償付結構、單因子大池同質模型與相關性偏斜（pp.386–391）；連接股權與信用的 Merton 模型與 Hirsa-Madan 方法（pp.392–394）；不動產抵押證券的提前還款風險（pp.394–396）與信用市場的交易結構（pp.396–400）。外匯章：十大工業國與新興市場貨幣的分野、主要參與者（pp.401–404）；遠期匯率事後是否實現的 carry 實證——這是外匯 carry 策略的根基（pp.407–410）；可交割與不可交割遠期（p.410）；外匯三角與交叉匯率的一致性（p.411）；delta 報價慣例下曲面校準的完整流程（pp.412–415）；數位、單觸碰、亞式、障礙等奇異選擇權在外匯市場的角色（pp.416–422）；避險與 carry 之外的貨幣三角離差交易、偏斜交易（pp.427–429）；2015 年瑞士央行放棄匯率下限、瑞郎單日暴漲的案例研究（pp.429–431）。股商章：難儲存資產的期貨曲線、VIX 與天然氣的超額 contango 實證（pp.434–439）；股商波動率曲面的持續性特徵（pp.440–441）；回顧型與一籃子選擇權（pp.442–443）；單一個股動量、滾動收益收割、指數對成分股的離差交易、槓桿 ETF 的長期損耗（pp.444–450）；天然氣軋空與 2018 年波動率商品崩盤的兩個案例研究（pp.451–457）。原書四章合計對應印刷頁 pp.317–457。

§04作業和解答

作業一：從票息債 bootstrap 零息曲線，並抓出「同 YTM 定價」的錯

給定五檔年付息公債（面額 100）：1 年期息票 1.5% 價 98.86、2 年期 2.0% 價 97.97、3 年期 2.5% 價 97.85、4 年期 2.75% 價 97.42、5 年期 3.0% 價 97.20。(1) bootstrap 出五個折現因子與零息利率；(2) 用曲線為一檔新發行的 5 年期、息票 4.5% 的債券定價；(3) 換一種常見的偷懶做法——直接套用 5 年期舊債的 YTM 為新債定價——兩者差多少？誤差從哪來？

解答 SOLUTION
PYTHON
import numpy as np

bonds = [(1, 0.0150, 98.86), (2, 0.0200, 97.97), (3, 0.0250, 97.85),
         (4, 0.0275, 97.42), (5, 0.0300, 97.20)]
d = {}
for T, c, price in bonds:
    coupon = 100 * c
    known = sum(coupon * d[t] for t in range(1, T))
    d[T] = (price - known) / (100 + coupon)
    print(f"T={T}y  d={d[T]:.6f}  zero={(d[T] ** (-1/T) - 1)*100:.4f}%")
# 輸出：d 依序 0.973990 / 0.941392 / 0.907918 / 0.872564 / 0.836043
#       zero 依序 2.6704% / 3.0658% / 3.2725% / 3.4667% / 3.6464%

# (2) 曲線定價新債（5y、4.5% 息票）
pv = sum(100 * 0.045 * d[t] for t in range(1, 6)) + 100 * d[5]
print(f"曲線定價 = {pv:.4f}")          # 103.9979

# (3) 偷懶做法：套 5 年舊債 YTM（二分法解 3.6223%）
def bond_price(y, T, c):
    return sum(100 * c / (1 + y) ** t for t in range(1, T + 1)) + 100 / (1 + y) ** T
lo, hi = 0.0, 0.2
for _ in range(100):
    mid = (lo + hi) / 2
    lo, hi = (mid, hi) if bond_price(mid, 5, 0.030) > 97.20 else (lo, mid)
print(f"同 YTM 定價 = {bond_price(mid, 5, 0.045):.4f}")   # 103.9492，低估 0.0487

解讀：兩種定價差了約 4.9 分（每百元面額）。誤差來源：曲線向上傾斜時，高息票債有更多現金流落在「短年期、低折現率」的區段，其正確的加權平均折現率應該更低（價格更高）；直接套用低息票舊債的 YTM，等於用「重心偏遠端」的折現率去折「重心偏近端」的現金流，把新債的近端現金流折得太兇。每百元 4.9 分看似微小，對以十億計的部位就是實打實的定價誤差——這正是專業定價一律走曲線、YTM 只當溝通工具的原因。

作業二：久期近似誤差的實測地圖

沿用課文的債券設定（3% 息票、殖利率 3% 起跳），對到期 2、10、30 年 × 升息 25、100、300 個基點的九宮格，實測：實際價格變動百分比、久期近似、久期＋凸性近似。整理誤差表，回答：(1) 誤差隨到期與幅度各怎麼放大？(2) 凸性修正在哪些格子仍然不夠？(3) 給利率風險系統一條務實建議。

解答 SOLUTION
PYTHON
import numpy as np

def bond_price(y, T, c):
    return sum(100 * c / (1 + y) ** t for t in range(1, T + 1)) + 100 / (1 + y) ** T

def dur_conv(T, c, y):
    times = np.arange(1, T + 1)
    cfs = np.full(T, 100 * c); cfs[-1] += 100.0
    disc = (1 + y) ** (-times.astype(float))
    P = (cfs * disc).sum()
    D = (times * cfs * disc).sum() / P / (1 + y)
    C = (times * (times + 1) * cfs * disc).sum() / P / (1 + y) ** 2
    return P, D, C

y0 = 0.03
for T in (2, 10, 30):
    P0, D, C = dur_conv(T, 0.03, y0)
    for bp in (25, 100, 300):
        dy = bp / 10000
        truth = (bond_price(y0 + dy, T, 0.03) - P0) / P0 * 100
        a1 = -D * dy * 100
        a2 = (-D * dy + 0.5 * C * dy * dy) * 100
        print(f"T={T:>2}  +{bp:>3}bp  實際{truth:9.4f}%  久期誤差{a1-truth:8.4f}  凸性後{a2-truth:7.4f}")
# 關鍵輸出：
# T= 2  +300bp  實際 -5.5002%   久期誤差 -0.2402   凸性後 0.0093
# T=10  +300bp  實際 -22.0803%  久期誤差 -3.5103   凸性後 0.4076
# T=30  +100bp  實際 -17.2920%  久期誤差 -2.3084   凸性後 0.2252
# T=30  +300bp  實際 -41.2945%  久期誤差-17.5068   凸性後 5.2957

解讀：(1) 誤差沿兩個軸同時放大——幅度軸上按 \((\Delta y)^2\) 的速度成長（300 個基點的誤差約是 100 個基點的九倍），到期軸上隨久期與凸性本身變大而放大。(2) 30 年 × 300 個基點的格子裡，連凸性修正後仍差 5.3 個百分點——泰勒展開的三階以上項已經不可忽略，任何固定階數的近似都會在「長久期 × 大變動」的角落失守。(3) 務實建議：日常小幅波動用久期＋凸性夠了，但風險系統的壓力測試（監管情境動輒 200 到 400 個基點）必須全重評價——把情境利率直接代入定價函數重算，不走任何近似。2022 年那輪全球升息（美國一年內升逾 400 個基點）正好落在近似最失真的區域，是活生生的教材。

作業三：CIP 偏離偵測器

模擬 500 個交易日的市場：即期匯率隨機漫步（自 32.0 起、日波動 0.3%）、兩地利率緩慢漂移（台幣約 1.6%、美元約 5.3%）；市場遠期＝CIP 理論值 ×（1＋basis），平時 basis 為零均值、標準差 4 個基點的雜訊，但在第 300–339 天插入一段 −35 個基點的錯位（模擬美元荒）。寫一個偵測器：|偏離| 超過來回交易成本 15 個基點才觸發，統計觸發天數、誤報數，並以名目 100 萬美元估算每筆淨套利。

解答 SOLUTION
PYTHON
import numpy as np

rng = np.random.default_rng(2017)
days = 500
S = 32.0 * np.exp(np.cumsum(rng.normal(0, 0.003, days)))
r_twd = 0.016 + 0.002 * np.sin(np.arange(days) / 80)
r_usd = 0.053 + 0.003 * np.cos(np.arange(days) / 100)
F_cip = S * (1 + r_twd) / (1 + r_usd)

basis_bp = rng.normal(0, 4, days)
basis_bp[300:340] -= 35                      # 壓力事件
F_mkt = F_cip * (1 + basis_bp / 10000)

dev_bp = (F_mkt / F_cip - 1) * 10000         # 實務上用市場遠期、即期與利率直接算
cost_bp = 15.0
flag = np.abs(dev_bp) > cost_bp
net = (np.abs(dev_bp[flag]) - cost_bp) / 10000 * 1_000_000
print(f"平時段 |dev| 均值 = {np.abs(dev_bp[:300]).mean():.1f} bp")
print(f"壓力段 dev 均值 = {dev_bp[300:340].mean():.1f} bp")
print(f"觸發 {flag.sum()} 天（壓力段內 {flag[300:340].sum()} 天）→ 誤報 0")
print(f"平均每筆淨套利 = {net.mean():,.0f} 美元/百萬名目，最大 {net.max():,.0f}")
# 輸出：
# 平時段 |dev| 均值 = 3.2 bp
# 壓力段 dev 均值 = -34.9 bp
# 觸發 40 天（壓力段內 40 天）→ 誤報 0
# 平均每筆淨套利 = 1,992 美元/百萬名目，最大 2,761

解讀：門檻設在成本之上，平時的 4 個基點雜訊完全不觸發（500 天零誤報），40 個壓力日全數捕捉——偵測器的功力全在門檻與成本的相對位置：門檻低於真實成本會把雜訊當機會（吃進負期望值的交易），太高則錯過整段錯位。每筆約 2,000 美元／百萬名目的淨利貌似微薄，但 CIP 套利近乎無市場風險、可以上規模——這正是它專屬於「資產負債表便宜」的大型銀行的原因，也解釋了為何監管讓資產負債表變貴之後，基差可以持續不收斂。進一步的真實世界複雜度：遠期報價的買賣價差、換匯交易的保證金、季末資本計提高峰——都在把「理論套利」削成「有條件的套利」。

作業四：從 CDS 期限結構讀出違約機率

某公司 CDS 報價：3 年期 35、5 年期 58、7 年期 80、10 年期 100（單位：基點），假設回收率 40%。(1) 用 credit triangle 的分段版（\(s_T \cdot T = \sum_k \lambda_k (1-R)\, \Delta t_k\)，忽略折現）bootstrap 出四段危險率；(2) 算各節點的累積違約機率；(3) 說明這條期限結構「往上傾斜」透露了什麼，以及市場隱含機率為何不能直接當歷史違約率用。

解答 SOLUTION
PYTHON
import numpy as np

tenors, spreads_bp, R = [3, 5, 7, 10], [35, 58, 80, 100], 0.40
lam, prev_T, acc = [], 0.0, 0.0
for T, s in zip(tenors, spreads_bp):
    s /= 10000
    lam_k = (s * T - acc) / ((T - prev_T) * (1 - R))   # 解本段危險率
    lam.append(lam_k)
    acc += lam_k * (1 - R) * (T - prev_T)
    prev_T = T

surv, prev_T = 1.0, 0.0
for (T, s), l in zip(zip(tenors, spreads_bp), lam):
    surv *= np.exp(-l * (T - prev_T))
    print(f"{prev_T:.0f}-{T:.0f} 年段  λ={l*100:.3f}%/年  累積違約率={100*(1-surv):.2f}%")
    prev_T = T
# 輸出：
# 0-3 年段   λ=0.583%/年  累積違約率= 1.73%
# 3-5 年段   λ=1.542%/年  累積違約率= 4.72%
# 5-7 年段   λ=2.250%/年  累積違約率= 8.91%
# 7-10 年段  λ=2.444%/年  累積違約率=15.35%

解讀：(1)(2) 分段危險率從 0.58% 一路爬到 2.44%——注意 10 年期利差雖只有 100 個基點，遠端的邊際危險率已是近端的四倍多，因為長天期利差是整段期間的平均，遠端要把前面低的部分「補回來」。(3) 上傾的期限結構是投資級公司的典型長相：近期違約風險低（手上有現金、債務結構清楚），遠期不確定性大。反過來，陷入困境的公司常出現倒掛——市場認為「撐過眼前這關就沒事」，1 年期利差反而比 5 年期貴。至於能不能把 15.35% 當成「這家公司十年內的真實違約機率」——不能。第五節說過，市場隱含的是風險中性機率，混著流動性與風險溢酬，系統性高於實證違約率；它是定價與對沖的正確輸入，卻是精算與統計問題的有偏估計。兩套機率各司其職，混用是信用建模最常見的概念錯誤。

§05參考資料