投資組合建構與風險管理

§01學習重點

• 用白話說出 Markowitz 均值–變異數優化的機制：效用函數怎麼把「報酬 vs 風險」壓成一道二次規劃，效率前緣從哪裡來
• 解釋為什麼「數學上最優」的組合實務上常常很荒謬：期望報酬估計誤差 \(\sigma/\sqrt{T}\) 的量級，以及優化器「誤差最大化」的機制
• 區分期望報酬建模的主要路線（歷史平均、多因子迴歸、正則化），並說出共變異數估計的維度困境與收縮估計的解法
• 走一遍 Black-Litterman 的完整流程：市場均衡反推先驗、觀點當資料、貝葉斯更新出後驗配置，並解釋它為什麼比「硬塞觀點」穩定
• 說出風險平價的直覺（均等化風險貢獻、不需要期望報酬）與它付出的代價
• 白話定義 VaR 與 Expected Shortfall（分位數 vs 尾端條件期望），親手用參數法、歷史模擬、蒙地卡羅三種算法計算並比較
• 用 Kupiec 檢定的直覺回測 VaR：破限次數該服從什麼分布、多少次算失格
• 描述壓力測試與情境分析的四種來源，以及風險限額在組織裡扮演的角色

§02課程內容

一、單期均值–變異數：一個誠實的起點

前面十七章的主角大多是「單一資產怎麼定價、怎麼預測」。本章換一個問題：手上有一籃子資產，錢該怎麼分？這是資產管理業的核心日常，也是第 1 章預告過、第 10 章已經用強化學習碰過的老題目。這一章我們把它的古典地基與現代修補一次講清楚，然後接上風險管理——因為「怎麼配」與「配錯了會多慘」是同一個問題的兩面。

Markowitz 在 1952 年給出的答案，今天看依然乾淨：投資人喜歡報酬、討厭波動，那就把兩者寫進同一個目標函數，讓數學去找平衡點。設 \(w\) 是各資產的權重向量、\(R\) 是期望報酬向量、\(C\) 是報酬的共變異數矩陣：

逐項拆解：\(w^\top R\) 是組合的期望報酬——各資產期望報酬按權重加權；\(w^\top C w\) 是組合的變異數——它不只吃各資產自己的波動，還吃兩兩之間的共變異，分散化的數學好處全藏在這一項；\(\lambda\) 是風險趨避係數——你願意用多少期望報酬去換一單位變異數的下降，每個投資人不同。目標函數是 \(w\) 的二次式、開口向下，所以一階條件直接給出全域最優解：

逐項拆解：\(C^{-1}\) 是共變異數矩陣的反矩陣——這三個字符是本章一半麻煩的來源，先記住它的存在；\(R\) 進來說「往期望報酬高的方向押」，\(C^{-1}\) 進來說「按風險與相關性打折」；\(\lambda\) 越大，整體部位越小。因為每個人的 \(\lambda\) 不同，沒有「人人適用的最優組合」——但把所有 \(\lambda\) 對應的最優組合收集起來，畫在「橫軸波動率、縱軸期望報酬」的平面上，就得到一條左凸的曲線：效率前緣。前緣上的每一點都是「給定報酬下波動最小」的組合；前緣下方的所有組合都被支配——同樣的波動，前緣上有報酬更高的選擇。

前緣上有一個特別的點值得單獨記住：最小變異組合。它是「什麼報酬都不管、只求波動最小」的解：

逐項拆解：\(\mathbf{1}\) 是全一向量，分母只是把權重正規化成加總為一。注意這條公式裡沒有 \(R\)——最小變異組合完全不需要知道期望報酬。這個看似平凡的性質，讀完下一節你會明白它有多珍貴。

二、輸入誤差放大器：為什麼「最優」組合常常很荒謬

均值–變異數優化在教科書裡無懈可擊，在實務上卻有個致命體質：它把輸入的 \(R\) 與 \(C\) 當成真理，但這兩樣東西都是從有限歷史資料裡估出來的。估得多不準？期望報酬的估計誤差有個殘酷的公式：

逐項拆解：\(\sigma\) 是資產的波動率，\(T\) 是資料年數，\(\epsilon_\mu\) 是「年化期望報酬估計值」的標準誤。代個數字：一檔波動率 18% 的股票資產（台灣讀者可以想像加權指數量級的波動），用 20 年資料估期望報酬，誤差是 \(0.18/\sqrt{20} \approx 4\%\)——而股票的合理年化超額報酬本身也就 4% 到 6%。換句話說，估計誤差跟訊號本身一樣大。想把誤差壓到 1%，需要三百多年資料；而三百年前的市場跟今天早就不是同一個制度。這不是統計技巧不夠好，是金融資料先天就這麼少——第 1 章說過的話在這裡兌現：我們沒有可重複的實驗。

誤差大還不是最糟的。最糟的是優化器對誤差的反應方式。跑一個實驗：四個自創資產類別，把期望報酬在自己的估計誤差範圍內隨機擾動 200 次，看「最優」組合怎麼變：

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(18)

# 四個資產類別（年化，數字自創）：台股、美股、投資級債、黃金
mu  = np.array([0.065, 0.080, 0.030, 0.045])
sig = np.array([0.18,  0.16,  0.05,  0.14 ])
corr = np.array([[1.00, 0.65, 0.10, 0.15],
                 [0.65, 1.00, 0.05, 0.10],
                 [0.10, 0.05, 1.00, 0.20],
                 [0.15, 0.10, 0.20, 1.00]])
C = np.outer(sig, sig) * corr
Ci = np.linalg.inv(C)
one = np.ones(4)

def frontier_w(Rt, mu_):
    """完全投資效率前緣的閉式解（目標報酬 Rt）"""
    a = one @ Ci @ mu_; b = mu_ @ Ci @ mu_; c = one @ Ci @ one
    d = b * c - a * a
    return ((c * Ci @ mu_ - a * Ci @ one) * Rt
            + (b * Ci @ one - a * Ci @ mu_)) / d

w0 = frontier_w(0.06, mu)
print("目標報酬 6% 的權重:", np.round(w0, 3))
# 輸出：[-0.036  0.57   0.282  0.184]

eps = sig / np.sqrt(20)               # 20 年資料的估計誤差
W = np.array([frontier_w(0.06, mu + rng.normal(0, eps))
              for _ in range(200)])
for i, n in enumerate(["台股", "美股", "投資級債", "黃金"]):
    print(f"{n}: {W[:,i].min():+.2f} ~ {W[:,i].max():+.2f}")
# 輸出：台股 -0.82~+1.12｜美股 -0.99~+1.20｜投資級債 -0.49~+1.44｜黃金 -0.71~+1.04
print("出現超過 -10% 放空的比例:", ((W < -0.10).any(axis=1)).mean())
# 輸出：0.565

讀一下這組數字。原始解的權重是 \([-0.04, 0.57, 0.28, 0.18]\)——已經有點極端但還算像話。期望報酬只在自己的一倍估計誤差內晃動——這是統計上完全正常的抖動，不是什麼極端情境——美股的權重就從 −99% 甩到 +120%，投資級債從 −49% 甩到 +144%；超過一半的抽樣裡出現兩位數百分比的放空部位。同一批資產、同一個共變異數矩陣、統計上無法區分的期望報酬，優化器給出的「最優答案」可以完全相反。

比喻： 歌唱選秀只聽一場就打分數，然後把整張唱片合約押給分數最高的人。單場分數＝真實力＋當天發揮，於是「分數最高」的參賽者，往往不是實力最強的，而是當天超常發揮、被高估最多的那位。均值–變異數優化器就是這種評審：它把估計值當真實力，於是系統性地重押被雜訊高估的資產、放空被雜訊低估的資產。誤差沒有被平均掉——它被專門挑出來、加了槓桿。

這個現象有個標準名字：優化器是誤差最大化器（error maximizer）。而共變異數那一側也有自己的麻煩。\(N\) 個資產的共變異數矩陣有 \(N(N+1)/2\) 個參數要估——25 檔股票就是 325 個、500 檔就是十二萬五千多個；當資產數超過觀測期數（在金融裡極常見），矩陣直接奇異，反矩陣根本不存在。就算不奇異，取反矩陣這個動作會把每個特徵值變成倒數——原本最小、統計上最像雜訊的特徵值，反轉後權重反而最大。優化器不只放大期望報酬的誤差，還專門放大共變異數矩陣裡最不可信的部分。

回頭看第一節結尾的伏筆：最小變異組合不吃期望報酬，所以期望報酬的誤差傷不到它（作業一會實測）。這解釋了一個實務現象——許多機構寧可用最小變異、風險平價這類「不需要預測報酬」的配置法，也不敢把裸的均值–變異數優化推上線。第 2 章講參數不確定性時說過「不確定越大、部位該越小」；本節是同一句話的組合版：輸入有多不可信，優化就該多保守。

三、期望報酬建模：訊號從哪裡來

罵完優化器，得面對正題：如果還是想用期望報酬，它該從哪來？

最素的答案是歷史平均：過去 \(t\) 期的平均報酬當下一期的預測。注意這不是中性的選擇——它隱含一個動量假設：過去表現好的，未來繼續好。把它一般化，讓每一期的落後報酬帶自己的係數，係數為正是動量模型、為負是均值回歸模型；再把基本面變數（帳面市值比、本益比之類）加進迴歸式，就得到多因子期望報酬模型。這一步我們其實在第 5 章已經走過：Barra 式基本面因子模型用「看得到的因子曝險」去解釋橫斷面報酬，每期解出因子報酬——那裡是為了解釋與歸因，這裡把同一套機器轉個方向拿來預測。

因子迴歸在金融資料上有兩個標配的補丁。第一是正則化：金融訊號的訊噪比極低、因子之間多重共線性嚴重，放任最小平方法自由發揮，係數會大得離譜且極不穩定。Ridge 與 LASSO 在損失函數裡對係數大小收費，把係數往零收縮——這正是第 2 章收縮估計量的迴歸版本：用一點偏差換大量穩定性，小樣本下穩賺。第二是符號約束與經濟先驗：一個係數如果跟經濟邏輯反向（例如估值越貴、預期報酬越高），多半是雜訊在說話，實務上寧可約束它或直接丟掉。

模型建好了，怎麼知道訊號有沒有用？業界最常用的量尺是資訊係數（information coefficient, IC）：訊號值與下一期實際報酬的相關係數。IC 有多重要，一條著名的關係式說得很直白：主動管理的資訊比率大約等於 IC 乘以「獨立下注次數」的平方根。訊號很弱（IC 很小）不要緊，只要它穩定、而且能鋪在夠多彼此獨立的標的上，聚沙成塔仍然可觀——這就是量化投資「廣度換深度」的商業模式。潑一盆冷水收尾：效率市場假說提醒我們，任何公開資訊算出來的訊號都應該預期只有微弱的解釋力，而且一旦太多人用，訊號本身會衰減。期望報酬建模是整個量化投資最難的一環，難不在數學，在於你在跟整個市場搶同一口飯。

四、共變異數建模：從滾動窗到收縮估計

共變異數矩陣拆開來是兩類零件：對角線上的波動率、對角線外的相關性。波動率的估計有一條從簡到繁的路線：滾動窗用最近 \(N\) 天等權平均——簡單，但窗內等權、窗外歸零，一筆大虧損掉出窗口的那天，估計值會無厘頭地跳一下；指數加權移動平均（EWMA）讓權重隨時間平滑衰減，用半衰期一個參數控制「新資料壓過舊資料」的速度；GARCH 更進一步把「波動率會叢聚、也會均值回歸」寫進模型——衝擊來時波動率跳升、之後按估計出的速度衰減回長期水位。第 6 章時間序列的工具箱在這裡全部派上用場。相關性用同一套框架估，但有個經驗法則：相關性比波動率更不穩定、更依賴市場狀態，所以估相關性時往往要用更長的記憶。

零件湊成矩陣後，上一節說的維度災難就來了。這裡的主力解法是收縮估計（shrinkage），由 Ledoit 與 Wolf 定型：

逐項拆解：\(\hat{\Sigma}\) 是樣本共變異數矩陣——無偏但在高維下噪音滿身；\(F\) 是結構化目標矩陣——一個參數很少、一定滿秩的簡單矩陣（常用「只留對角線」或「所有相關係數都等於平均值」）；\(\delta\) 是收縮強度，把兩者摻在一起。往對角線收縮，等於把對角線外的相關性整體「調淡」——矩陣的條件數變好、反矩陣不再瘋狂放大雜訊，代價是抹掉一部分真實的相關結構。這跟第 2 章那個 \((k+4)/(n+8)\) 的勝率收縮估計量是同一個道理、同一個交易：接受一點系統性偏差，換取方差大幅下降，小樣本下總帳划算。作業二會讓你實測：25 檔股票、只有 60 個月資料時，樣本共變異數建出來的最小變異組合，真實波動比收縮版高出快兩個百分點——而且 \(\delta\) 從 0 掃到 1 會走出一條 U 形，跟第 1 章的過擬合曲線神似，因為這根本就是同一件事：\(\delta\) 太小是過擬合雜訊，太大是欠擬合結構。

還有一條更講究的路線值得知道名字：隨機矩陣理論。它回答「樣本共變異數矩陣的特徵值，多小才算純雜訊」——純隨機資料的特徵值有一個理論上界（Marchenko–Pastur 界），實測特徵值超出界外的才算有訊號，界內的可以整批清零再重建矩陣。收縮是「全體調淡」，隨機矩陣理論是「逐一鑑定」，兩者都在做同一件事：在餵給優化器之前，把矩陣裡的雜訊拆掉。

五、修正學派巡禮：約束、Black-Litterman、風險平價

知道了病因（輸入誤差）與病灶（優化器放大它），修正學派分三路進場。

第一路：加約束。 實務上的優化幾乎從不裸跑：禁止放空（\(w_i \ge 0\)）、單一部位上限、對基準的追蹤誤差上限、換手率上限（管交易成本）、因子曝險區間。約束表面上是業務要求，深層作用其實是正則化：上一節實驗裡那些 −99%、+144% 的荒謬部位，一條禁止放空的約束就能整批攔下。約束把優化器的想像力關進籠子，籠子的形狀就是你對誤差的防禦。

第二路：Black-Litterman——把觀點做成貝葉斯更新。 這是第 2 章貝葉斯機器在資產配置上最漂亮的一次出場。它解決的痛點：PM 手上有觀點（「REITs 未來一年會贏過債券」），但把觀點直接改進期望報酬向量再優化，優化器會像上一節那樣把整個組合甩到極端。Black-Litterman 的流程分三步：

第一步，反向優化出先驗。別問「期望報酬是多少」，反過來問：「要讓市場現在的市值權重 \(w_{\mathrm{mkt}}\) 恰好是最優解，期望報酬得是多少？」把第一節的閉式解倒過來解，得到均衡隱含報酬 \(R_{\mathrm{eq}} = \lambda C w_{\mathrm{mkt}}\)。這是「全市場資金投票投出來的期望報酬」，當先驗分布的中心。第二步，觀點當資料：每條觀點寫成「某個資產組合的報酬是多少」，並附上信心（觀點的變異數 \(\Omega\)——信心越高、變異數越小）。第三步，貝葉斯更新：先驗與觀點都是常態分布，後驗有閉式解：

逐項拆解：\(P\) 是觀點矩陣（每列一條觀點，標出涉及哪些資產）、\(Q\) 是各觀點宣稱的報酬、\(\tau\) 縮放先驗的不確定性；整條公式就是精度加權平均——先驗按先驗的精度、觀點按觀點的精度，各自投票，精度高的話語權大。這正是第 2 章後驗公式的矩陣版：資料（觀點）越有信心，後驗越往觀點移；先驗越強，觀點越拉不動它。跑個三資產小例：

import numpy as np

sig  = np.array([0.16, 0.05, 0.13])            # 股票、債券、REITs
corr = np.array([[1.00, 0.10, 0.55],
                 [0.10, 1.00, 0.15],
                 [0.55, 0.15, 1.00]])
Sigma = np.outer(sig, sig) * corr
w_mkt = np.array([0.55, 0.30, 0.15])           # 市值權重
lam, tau = 2.5, 0.05

R_eq = lam * Sigma @ w_mkt                     # 均衡隱含報酬（先驗中心）
print("均衡隱含報酬:", np.round(R_eq, 4))       # [0.0401 0.0033 0.0228]

P = np.array([[0.0, -1.0, 1.0]])               # 觀點：REITs 將贏過債券
Q = np.array([0.03])                           # 幅度 3%
Omega = np.array([[0.001]])                    # 觀點信心（變異數）

tSi = np.linalg.inv(tau * Sigma)
var_R = np.linalg.inv(tSi + P.T @ np.linalg.inv(Omega) @ P)
E_R = var_R @ (tSi @ R_eq + P.T @ np.linalg.inv(Omega) @ Q)
print("後驗期望報酬:", np.round(E_R, 4))        # [0.0431 0.0029 0.0273]

w_bl = np.linalg.inv(Sigma + var_R) @ E_R / lam
print("BL 配置:", np.round(w_bl / w_bl.sum(), 3))   # [0.55  0.175 0.275]

mu_naive = R_eq.copy(); mu_naive[2] = mu_naive[1] + 0.03   # 對照：硬塞觀點
w_nv = np.linalg.inv(Sigma) @ mu_naive / lam
print("硬塞觀點:", np.round(w_nv / w_nv.sum(), 3))  # [0.351 0.188 0.46 ]

兩組輸出對照著讀。BL 的配置從市值權重 \([0.55, 0.30, 0.15]\) 移到 \([0.55, 0.175, 0.275]\)：債券讓出的部位進了 REITs，而觀點沒碰到的股票紋絲不動留在 55%——觀點只在它談論的維度上動手。對照組把 3% 直接寫進期望報酬再優化，REITs 被甩到 46%，連沒被觀點提及的股票都被砍到 35%。同一條觀點，兩種植入方式，穩定性天差地遠。而且信心參數給了一個乾淨的旋鈕：把 \(\Omega\) 從 0.0005 放寬到 0.02，REITs 配置從 32% 平滑滑回 16%——觀點的話語權隨信心連續縮放，而不是全有或全無。

比喻： 公司編新年度預算有兩種開法。零基預算：每個科目從零開始重新論證——理論上最嚴謹，實務上誰的簡報做得漂亮誰拿錢，結果對「論證品質的誤差」極度敏感。基底預算：以去年實績為基底，只有提得出具體理由的科目才加減，理由越紮實、調幅越大。Black-Litterman 是基底預算：市場均衡配置是去年實績，你的觀點是調整理由，\(\Omega\) 是理由的紮實程度。它不保證預算編得對，但保證不會因為一頁簡報就把整張預算表掀了。

第三路：風險平價——乾脆不要期望報酬。 既然期望報酬是誤差重災區，risk parity 直接繞開它：不均等化資金，均等化風險貢獻。資產 \(i\) 的風險貢獻定義為 \(w_i \,\partial \sigma_p / \partial w_i\)——權重乘上「這檔資產每多配一點、組合波動多漲多少」，所有資產的風險貢獻加總恰好等於組合波動率，所以可以問「每檔貢獻了幾分之幾」。傳統 60/40 股債配置按資金看很平衡，按風險貢獻看是股票獨佔九成——因為股票波動大得多。風險平價會把債券權重拉得很高、股票壓得很低，讓每類資產對組合波動的貢獻相等；粗略的直覺版就是「按波動率倒數配權重」（相關性結構再做精修）。代價也明白：這種組合波動低、期望報酬也低，實務上要加槓桿才能達到目標報酬水位——而槓桿帶來融資成本、保證金追繳、以及「波動率估錯時錯誤被槓桿同步放大」的新風險。世上沒有免費的穩健。

最後補一句動態視角：本章通篇是單期問題——這一期配完，下一期重來。第 10 章已經示範過把它動態化的樣子：多期投資組合不等於把單期 Markowitz 重複 N 次，因為你的交易本身會推動價格（市場衝擊）、今天的持倉是明天決策的起點；G-learning 用熵正則化把這整條序列決策問題解到半解析。單期是地基，動態是樓——地基的輸入誤差問題，蓋了樓照樣在。

六、風險管理：VaR 與 Expected Shortfall

視角換到防守端。組合建好了，老闆問一句：「最壞會賠多少？」這句話的標準化答案就是 VaR（Value at Risk，風險值）：

逐項拆解：\(F\) 是組合報酬分布的累積分布函數，\(F^{-1}(1-\alpha)\) 是它的 \((1-\alpha)\) 分位數；\(\alpha\) 是信心水準。白話：99% 日 VaR 等於 300 萬元，意思是「依照模型，一天賠超過 300 萬元的機率只有 1%——大約一百個交易日碰上一次」。VaR 直觀、可比較、一個數字說完，所以成了業界與監管共同的通用語言。

但 VaR 有一個結構性的盲點：它只告訴你門檻在哪，對門檻外面的世界隻字不提。賠超過 300 萬的那 1% 的日子，是平均賠 350 萬還是 3000 萬？VaR 看不出來——兩個尾巴形狀完全不同的分布可以有一模一樣的 VaR。它還有一條理論瑕疵：不滿足次可加性——兩個組合合併後的 VaR 可能比各自 VaR 相加還大，跟「分散化不該增加風險」的常識打架。補上這兩個洞的是 Expected Shortfall（ES，也叫 CVaR）：

逐項拆解：條件符號右邊限定「報酬落在 VaR 門檻之外」的那些日子，對它們取期望。白話：真的出事的那些天，平均賠多深。ES 看進了尾巴內部，而且數學上被證明是「一致性風險測度」——次可加性成立，分散化的常識回來了。

比喻： VaR 是堤防的設計水位：「99% 的日子，水不會漫過這條線」。ES 回答的是另一個問題：「真的漫過來的那些日子，平均會淹多深」。防洪不能只看水位線——線外是及膝還是滅頂，對「要不要把重要設備搬上二樓」是完全不同的決策。兩個數字都要看，一個管頻率，一個管深度。

算 VaR/ES 有三種標準算法，各有性格。參數法：假設報酬服從某個分布（通常是常態），VaR 直接用公式 \(\mu - z_\alpha \sigma\) 算——最快，但常態假設在金融資料上是出了名的瘦尾。歷史模擬法：不做任何分布假設，直接拿過去 \(N\) 天的實際報酬當劇本重演，取分位數——老實，尾巴多厚就多厚，但「歷史沒發生過的它永遠算不出來」。蒙地卡羅法：指定一個模型（可以是厚尾的、可以帶隨機波動率），模擬幾萬條路徑再取分位數——最靈活，但風險評估的品質完全取決於模型的品質。拿一段厚尾資料（t 分布，超額峰度明顯）把三種算法排在一起：

import math
import numpy as np

rng = np.random.default_rng(2024)
df, T = 5, 1500                        # t 分布（厚尾），1500 天
ret = rng.standard_t(df, size=T) * 0.012 / math.sqrt(df / (df - 2))

alpha, z99 = 0.99, 2.3263
mu_h, s_h = ret.mean(), ret.std()

var_p = -(mu_h - z99 * s_h)                       # 參數法（常態）
es_p = -(mu_h - s_h * math.exp(-z99**2/2) / math.sqrt(2*math.pi) / (1-alpha))
q = np.quantile(ret, 1 - alpha)                   # 歷史模擬法
var_h, es_h = -q, -ret[ret <= q].mean()
sim = rng.normal(mu_h, s_h, 100_000)              # 蒙地卡羅（常態模型）
qs = np.quantile(sim, 1 - alpha)
print(f"參數法   VaR99={var_p:.4f} ES99={es_p:.4f}")   # 0.0265 / 0.0305
print(f"歷史模擬 VaR99={var_h:.4f} ES99={es_h:.4f}")   # 0.0321 / 0.0385
print(f"蒙地卡羅 VaR99={-qs:.4f} ES99={-sim[sim<=qs].mean():.4f}")  # 0.0265 / 0.0304

# Kupiec 回測：常態 VaR99 應該 1% 的日子破限
x = int((ret < -var_p).sum())
p, phat = 1 - alpha, ((ret < -var_p).sum()) / T
LL = lambda pp, k: (T - k) * math.log(1 - pp) + k * math.log(pp)
LR = -2 * (LL(p, x) - LL(phat, x))
print(f"破限 {x} 次（預期 {T*p:.0f}），Kupiec LR = {LR:.2f}")
# 輸出：破限 26 次（預期 15），Kupiec LR = 6.68 → 超過 3.84，拒絕

數字會說話：同一批資料，常態參數法說 99% VaR 是 2.65%，歷史模擬說是 3.21%——常態假設把尾端風險低估了兩成；ES 的差距更大（3.05% 對 3.85%），因為 ES 整根探進尾巴，尾巴越厚差越多。蒙地卡羅跟參數法幾乎一樣，不是巧合——這裡的蒙地卡羅用的正是常態模型，它只是把參數法的公式用模擬重算一遍。模擬方法的答案永遠不會好過餵給它的模型。

七、回測 VaR：Kupiec 檢定的直覺

風險模型跟交易模型一樣，需要對答案。VaR 的答案很好對：99% 日 VaR 如果算得準，破限（實際虧損超過 VaR）應該平均一百天發生一次——既不該更多，也不該更少。太多代表模型低估風險，公司在不知情下超載；太少代表模型過度保守，資本被白白閒置。破限與否是個伯努利事件，\(T\) 天裡的破限次數服從二項分布——這就是 Kupiec 檢定的全部直覺：數破限次數，檢定它跟名目機率合不合。

逐項拆解：\(L(p)\) 是「破限機率真的是名目值 \(p\)（例如 1%）」時觀測資料的概似，\(L(\hat p)\) 是用實際破限頻率 \(\hat p\) 算的概似；兩者差距越大，LR 越大。LR 超過卡方分布單自由度的 95% 臨界值 3.84，就拒絕「模型校準正確」。上一節的實驗正好示範了一次不及格：常態 VaR99 在 1500 天厚尾資料上破限 26 次、預期只有 15 次，LR = 6.68 > 3.84——統計上有足夠證據說這個模型系統性低估風險，該退回重修。同一批資料上的歷史模擬 VaR 破限 15 次，恰如其分。

兩個實務註腳。第一，監管把這個邏輯做成了制度：巴塞爾框架用滾動 250 天的破限次數把銀行模型分進綠、黃、紅三區，紅區直接觸發資本加成——破限次數不是學術統計量，是會影響資本成本的真金白銀。第二，Kupiec 只管頻率不管分布：26 次破限如果擠在同一個月出現，比均勻散開嚴重得多（那代表模型在波動叢聚時整段失靈），這需要進階的獨立性檢定——概念在此打住，方向留給有興趣的讀者。回測的完整紀律，第 19 章會在交易策略的脈絡下正面展開。

八、壓力測試、情境分析與風險限額

VaR 與 ES 有一個共同的先天限制：它們都從歷史資料長出來。歷史沒發生過的事，它們一個字都說不出。補這個洞的工具是壓力測試與情境分析：不問「機率分布怎麼說」，改問「如果某個劇本上演，組合會怎樣」。劇本有四種來源：歷史重演——把某段真實危機的各資產報酬套到今天的組合上；監管指定——銀行的壓力情境很多由監管機構直接開題，結果連動資本要求；主觀設計——風控主管根據當下市場結構自己編劇本（重要原則：劇本不該由被評估的 PM 自己寫，球員不能兼裁判）；宏觀變數衝擊——先指定一個關鍵變數的衝擊（油價漲五成、台幣單日劇貶、波動率指數翻倍），再用相關性結構推算其他資產的連帶反應，拼出一致的全景。壓力測試的價值不在機率（它根本不談機率），在於暴露集中度：哪個劇本會讓公司傷筋動骨，答案往往出乎管理層意料。

風險測量的終點是風險限額：每個交易檯、每個策略、每個 PM 都有自己的 VaR 上限、集中度上限、虧損上限。限額的意義遠不止「控制風險」這四個字——它是組織的風險偏好寫成的憲法。第一，它把「公司願意承受多少痛」從一句口號變成可稽核的數字；第二，它強迫風險在事前被定價，而不是事後被追悔；第三，它創造了一個獨立於損益的制衡機關——風控部門敢對賺錢的檯子說不，靠的不是勇氣，是限額白紙黑字。對沖基金史上不缺聰明人栽在風險管理的案例：交易邏輯終究被證明是對的、但部位在被證明之前先爆掉的故事，每隔幾年就重演一次。市場不會因為你終究是對的，就讓你活到那一天。

九、誠實限界

本章的工具箱收尾前，把三塊警示牌釘牢。

相關性在危機中趨於一。 共變異數矩陣是用平時的資料估的，而平時的相關性結構在壓力下會變形——具體來說，風險資產之間的相關性會集體往 1 靠攏。原因不神祕：危機時所有人都在做同一件事——去槓桿、換現金，賣的是「賣得掉的」而不是「想賣的」。於是平時分散得漂漂亮亮的組合，那一天發現所有部位一起跌。

比喻： 平常散場，觀眾從十幾個出口各自離開，動線互不干擾——這是分散化。火警那晚，所有人湧向同一個出口——你以為的十幾條逃生路徑，瞬間塌縮成一條。資產相關性在危機中趨於 1 是同一個機制：平時各走各的資產，在流動性抽乾的那天被同一群人同時拋售。分散化在你最需要它的那天，最不管用。

一個務實的補法是雙狀態共變異數：壓力期與平靜期各估一套矩陣，按你對壓力機率的評估（或風險偏好）加權混用——保守的投資人可以刻意把壓力矩陣的權重調高。

模型風險。 本章每個數字都是模型的輸出：VaR 假設了分布、共變異數假設了平穩、壓力測試假設了傳導路徑。模型風險管不掉，只能管理：獨立驗證、上線前後的行為監控、以及永遠保留「模型外還有什麼」的追問。風險分兩種——已定義的風險（資料裡出現過、可以量化的）與未定義的風險（事前無從量化、事後人人都說早該想到的）。本章所有工具都只覆蓋前者；對後者，工具是謙遜、緩衝與槓桿紀律。另外提一句工程細節：組合裡若含選擇權這類非線性部位，VaR 不能只模擬標的價格，還得動用第 16 章的 Greeks 做泰勒近似（或整套重新定價）；利率與信用部位則要面對整條曲線的變形，那是第 17 章的地盤。

VaR 是儀表板，不是護身符。 風險數字的作用是讓決策者看見風險，不是消滅風險。最危險的狀態不是 VaR 很高，而是全公司都盯著一個算錯的 VaR 安心睡覺。測量、回測、質疑、再測量——風險管理是動詞，不是報表。

§03原書對照

本課以三章原書為底重組：Kelliher《Quantitative Finance with Python》第 17 章（pp.459–498）、第 18 章（pp.499–521）、第 19 章（pp.523–544）。以下內容原書有、但本課未展開。其一，Lagrange 乘數的完整推導與「影子價格」詮釋——乘數衡量放鬆約束一單位能換多少目標函數，並連回選擇權校準的脈絡（pp.460–463）。其二，從投資人效用函數出發的公理化鋪陳：二次效用如何導出均值–變異數框架，與完全投資效率前緣的解析解——含四個標量常數的閉式權重公式（pp.463–467，式 17.39）。其三，共變異數估計誤差的量化公式與取樣頻率的角色：變異數誤差可藉提高取樣頻率壓低，期望報酬誤差不行（pp.474–476，式 17.61–17.62）。其四，CAPM 全章：切線組合與資本市場線的幾何、系統性與特異性風險的區分、Fama-French 三因子與歸因分析（pp.480–484）。其五，Michaud 重抽樣前緣：對輸入分布重複抽樣、對每條樣本解前緣、再平均權重，及其與原始前緣的實證對比（pp.488–490）。其六，常見約束的逐一數學化：因子曝險區間、換手率上限、追蹤誤差最小化的等價改寫——把基準變異數拆出後從目標函數剔除（pp.470–473，式 17.46–17.60）。其七，相關性非平穩的雙狀態處理：壓力期與平靜期各估一套共變異數、按壓力機率線性混合，並以分群方法劃分兩種狀態（p.479，式 17.65）。其八，以 VaR/CVaR 為目標的下方風險優化：常態假設下的解析改寫、CVaR 的次可加與凹性讓優化良態，及兩者的求解性質（pp.490–494，式 17.79–17.87）。其九，風險平價的邊際風險貢獻公式推導、迭代求解式，與四資產 ETF 的實算權重（pp.494–497）。其十，Fama-MacBeth 兩步迴歸與 Newey-West 標準誤修正——處理橫斷面與時序自相關對 t 統計量的膨脹（pp.503–505）。其十一，訊號去噪（detoning）、IC 的滾動診斷、與主動管理基本定律的正式表述（pp.505–508）。其十二，區間波動率估計量 Parkinson 與 Garman-Klass、GARCH(1,1) 的最大概似估計流程與標普指數兩個十年期的參數對照（pp.512–517）。其十三，負特徵值的修正（保跡數重標定）與 Marchenko–Pastur 特徵值顯著性邊界（pp.517–521，式 18.32–18.34）。其十四，風險型態分類（市場、模型、作業、交易對手）、邊際 VaR/CVaR 貢獻、與滾動 VaR 的樣本外驗證實例（pp.525–535）。其十五，非線性工具的完整重定價 vs Greeks 泰勒近似，利率信用的 DV01、關鍵利率部分 DV01、違約跳躍風險與主成分曲線位移（pp.535–544）。

§04作業和解答

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(42)
sig = np.array([0.18, 0.16, 0.05, 0.14])
corr = np.array([[1.00, 0.65, 0.10, 0.15], [0.65, 1.00, 0.05, 0.10],
                 [0.10, 0.05, 1.00, 0.20], [0.15, 0.10, 0.20, 1.00]])
C = np.outer(sig, sig) * corr
Ci = np.linalg.inv(C)
one = np.ones(4)
mu = np.array([0.065, 0.080, 0.030, 0.045])
eps = sig / np.sqrt(20)

def frontier_w(Rt, mu_):
    a = one @ Ci @ mu_; b = mu_ @ Ci @ mu_; c = one @ Ci @ one
    d = b * c - a * a
    return ((c * Ci @ mu_ - a * Ci @ one) * Rt + (b * Ci @ one - a * Ci @ mu_)) / d

W_f = np.array([frontier_w(0.06, mu + rng.normal(0, eps)) for _ in range(500)])
W_m = np.array([Ci @ one / (one @ Ci @ one) for _ in range(500)])
print("前緣組合權重標準差:", np.round(W_f.std(axis=0), 3))
# 輸出：[0.296 0.333 0.284 0.262]
print("最小變異組合權重標準差:", np.round(W_m.std(axis=0), 3))
# 輸出：[0. 0. 0. 0.]

W_m2 = []
for _ in range(500):                    # (2) 用 60 個月資料重估 C
    X = rng.multivariate_normal(np.zeros(4), C / 12, size=60)
    Si = np.linalg.inv(np.cov(X, rowvar=False) * 12)
    W_m2.append(Si @ one / (one @ Si @ one))
print("最小變異(重估C)權重標準差:", np.round(np.std(W_m2, axis=0), 3))
# 輸出：[0.048 0.053 0.056 0.045]

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(555)
N = 25
beta = rng.uniform(0.6, 1.4, N)
sig_i = rng.uniform(0.03, 0.08, N)
C_true = np.outer(beta, beta) * 0.045**2 + np.diag(sig_i**2)
one = np.ones(N)

def minvar(C):
    Ci = np.linalg.inv(C)
    return Ci @ one / (one @ Ci @ one)

w = minvar(C_true)
print("神視角波動:", round(float(np.sqrt(w @ C_true @ w) * np.sqrt(12)), 4))
# 輸出：0.107

res = {"樣本": [], "收縮": []}
for _ in range(200):
    X = rng.multivariate_normal(np.zeros(N), C_true, size=60)
    S = np.cov(X, rowvar=False)
    res["樣本"].append(minvar(S))
    res["收縮"].append(minvar(0.5 * np.diag(np.diag(S)) + 0.5 * S))
for k, ws in res.items():
    vols = [np.sqrt(w @ C_true @ w) * np.sqrt(12) for w in ws]
    print(f"{k}: 平均 {np.mean(vols):.4f} 最差 {np.max(vols):.4f}")
# 輸出：樣本: 平均 0.1394 最差 0.1777｜收縮: 平均 0.1210 最差 0.1342
w_eq = one / N
print("等權:", round(float(np.sqrt(w_eq @ C_true @ w_eq) * np.sqrt(12)), 4))
# 輸出：0.1531

import math
import numpy as np

rng = np.random.default_rng(7)
df, T_all, win = 5, 2250, 250
ret = rng.standard_t(df, size=T_all) * 0.012 / math.sqrt(df / (df - 2))

def kupiec(breaches, n, p):
    ph = breaches / n
    LL = lambda pp, k: (n - k) * math.log(1 - pp) + k * math.log(pp)
    return -2 * (LL(p, breaches) - LL(ph, breaches))

b_h = b_n = 0
for t in range(win, T_all):
    w = ret[t - win:t]
    if ret[t] < np.quantile(w, 0.05):                    # 歷史模擬 VaR95
        b_h += 1
    if ret[t] < w.mean() - 1.6449 * w.std():             # 常態參數 VaR95
        b_n += 1
n = T_all - win
print(f"歷史模擬: 破限 {b_h}/{n}（預期 {n*0.05:.0f}），LR={kupiec(b_h, n, 0.05):.2f}")
# 輸出：破限 109/2000（預期 100），LR=0.83 → 無法拒絕
print(f"常態參數: 破限 {b_n}/{n}，LR={kupiec(b_n, n, 0.05):.2f}")
# 輸出：破限 107/2000，LR=0.50 → 無法拒絕

tail, es_pred = [], []
for t in range(win, T_all):                              # (3) ES 事後檢查
    w = ret[t - win:t]
    q = np.quantile(w, 0.05)
    if ret[t] < q:
        tail.append(-ret[t]); es_pred.append(-w[w <= q].mean())
print(f"破限日實際平均虧損 {np.mean(tail):.4f} vs 預測 ES95 {np.mean(es_pred):.4f}")
# 輸出：0.0258 vs 0.0254

§05參考資料

• Idzorek, T. (2005). A Step-by-Step Guide to the Black-Litterman Model — Black-Litterman 最常被引用的實作指南，含信心水準設定的具體做法。
• Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J.-M., & Heath, D. (1998). Coherent Measures of Risk — 一致性風險測度的公理化原典，VaR 為何失格、ES 為何合格的理論根據。
• Rockafellar, R. T., & Uryasev, S. (2000). Optimization of Conditional Value-at-Risk — CVaR 優化的奠基論文，證明 CVaR 可用線性規劃求解。
• Basel Committee (1996). Supervisory Framework for the Use of Backtesting — 監管版的 VaR 回測框架：綠黃紅三區與破限次數對資本要求的影響。
• scikit-learn：Ledoit-Wolf 收縮估計器文件 — 收縮共變異數的可直接呼叫實作，含最優收縮強度的解析解。
• Kenneth French Data Library — Fama-French 因子資料的官方來源，期望報酬因子模型的實證起點。
• Kelliher, C. (2022). Quantitative Finance with Python. CRC Press / Taylor & Francis — 本課程對照之原書，第 17–19 章 pp.459–544。